...

>Sannsynlighetsfordelinger>Normalfordeling

Normalfordeling

Normalfordelingen er den aller viktigste sannsynlighetsfordelingen.

Teori

Normalfordeling

Normalfordelingen med forventningsverdi $μ$ og standardavvik $σ$ er gitt ved

f (x) = \frac{1}{σ \sqrt{2 π}} e^{- \frac{{(x - μ)}^{2}}{2 σ^{2}}} .

Denne kommer du aldri til å regne med direkte, og takk for det!

Sannsynligheten for å få et resultat mellom $a$ og $b$ er gitt av arealet begrenset av grafen, $x$ -aksen og linjene $x = a$ og $x = b$ . $P (a \geq x \geq b)$ finner du i «sannsynlighetstabellen for normalfordelingen», eller ved bruk av GeoGebra.

Når du skal regne med normalfordelingen for hånd må du gjøre om til standardnormalfordeling, slik at du kan bruke en tabell som har alle svarene. En standardisert normalfordeling er en normalfordeling med forventningsverdi lik 0 og standardavvik lik 1. Ved omregning til standardnormalfordeling må du bruke denne omregningsformelen:

Formel

Omregning til standardnormalfordeling

Z = \frac{X - μ}{σ},

der den tilfeldige variabelen $Z$ er standardnormalfordelt.

Eksempel 1

Fødselsvekten til en nyfødt jente er tilnærmet normalfordelt med forventning $3, 50 kg$ og standardavvik $0, 48 kg$ .

1.: Hva er sannsynligheten for at en tilfeldig født jente veier mindre $2, 5 kg$ ?
2.: Hva er sannsynligheten for at en tilfeldig født jente veier mer enn $4, 0 kg$ ?
3.: Hva er sannsynligheten for at en tilfeldig født jente veier mellom $2, 5 kg$ og $4, 0 kg$ ?

1.

Du skal altså finne

P (X \leq 2, 5)

. Da blir utregningen som dette:

\begin{array}{l} P (X \leq 2, 5) & = P (\frac{X - μ}{σ} \leq \frac{2, 5 - 3, 5}{0, 48}) \\ = P (Z \leq - 2, 0833) . \end{array}

Du leter i tabellen og finner at

\begin{array}{l} P (Z \leq - 2, 0833) \Leftrightarrow Z & = 0, 0188 \\ = 1, 88 % . \end{array}

\begin{array}{l} P (Z \leq - 2, 0833) \Leftrightarrow Z = 0, 0188 = 1, 88 % . \end{array}

Sannsynligheten for at en nyfødt jente veier mindre enn

2, 5

kg er

1, 88

% (avrunding gjør at verdien her og på bildet under avviker med

0, 0002

).

2.

Du skal finne nå finne

P (X \geq 4, 0)

. Da blir utregningen slik:

\begin{array}{l} P (X \geq 4, 0) & = 1 - P (X \leq 4, 0) \\ = 1 - P (\frac{X - μ}{σ} \leq \frac{4, 0 - 3, 5}{0, 48}) \\ = 1 - P (Z \leq 1, 04) . \end{array}

Du leter i tabellen og finner at

P (Z \leq 1, 04) = 0, 8508

som gir at

\begin{array}{l} 1 - P (Z \leq 1, 04) & = 1 - 0, 8508 \\ = 0, 1492 \\ = 14, 92 % . \end{array}

Sannsynligheten for at en tilfeldig født jente veier mer enn $4, 0$ kg er $14, 92$ %.

3.

Du skal finne

P (2, 5 \leq X \leq 4, 0)

. Da må du lage en dobbel ulikhet. Det ser slik ut:

\begin{array}{l} P (2, 5 \leq X \leq 4, 0) & = P (\frac{2, 5 - 3, 5}{0, 48} \\ \leq \frac{X - μ}{σ} \\ \leq \frac{4, 0 - 3, 5}{0, 48}) \\ = P (- 2, 08 \leq Z \\ \leq 1, 04) \\ = P (Z \leq 1, 04) \\ - P (Z \leq - 2, 08) \end{array}

\begin{array}{l} P (2, 5 \leq X \leq 4, 0) & = P (\frac{2, 5 - 3, 5}{0, 48} \leq \frac{X - μ}{σ} \leq \frac{4, 0 - 3, 5}{0, 48}) \\ = P (- 2, 08 \leq Z \leq 1, 04) \\ = P (Z \leq 1, 04) - P (Z \leq - 2, 08) \end{array}

Etter en titt i tabellen finner du at

\begin{array}{l} P (2, 5 \leq X \leq 4, 0) & = 0, 8508 - 0, 0188 \\ = 0, 8320 \\ = 83, 2 % \end{array}

Sannsynligheten for at en tilfeldig født jente veier mellom $2, 5$ kg og $4, 0$ kg er $83, 2$ %.

Vil du vite mer?Registrer degDet er gratis!

Forrige oppslag

Hypergeometrisk sannsynlighet

Sentralgrensesetningen