>Sannsynlighetsfordelinger>Pascals trekant

Pascals trekant

Pascals trekant er et fantastisk hjelpemiddel, spesielt når du skal regne ut uttrykk på formen ${(a + b)}^{n}$ . Du kan uttrykke Pascals trekant på to måter, enten ved binomialkoeffisienter eller ved summering av tallene på to etterfølgende plassnummer.

Teori

Metode 1

Pascals trekant er bygget opp av binomialkoeffisienten $(\binom{n}{k})$ , der $n$ er raden i trekanten og $k$ er plassen på raden.

Det som er spesielt med Pascals trekant er at både radnummeret og plassnummeret starter på $0$ . Når du fyller inn tall for $n$ og $k$ i binomialkoeffisienten dannes Pascals trekant. Da ser det slik ut

Rad nummer 0 til nummer 4 i Pascals trekant, skrevet med binomialkoeffisienter

Ved å bruke denne fremgangsmåten kan du lett finne akkurat den koeffisienten du trenger til det du skal regne ut.

NB! Generelt har du at

\begin{array}{l} (\binom{n}{0}) & = 1 = (\binom{n}{n}) \\ (\binom{n}{1}) & = n = (\binom{n}{n - 1}) . \end{array}

Overbevis deg selv om at dette stemmer!

Eksempel 1

Finn tallene på rad 3 i Pascals trekant.

Rad tre betyr at $n = 3$ og at $k$ skal være lik 0, 1, 2 og 3. Da blir tallene på rad tre som følger:

Rad nummer 3 i Pascals trekant

Dersom du regner ut verdiene til binomialkoeffisientene får du denne trekanten:

Rad nummer 0 til nummer 4 i Pascals trekant, skrevet med tall

NB! Alle rader i Pascals trekant begynner og slutter med 1.

Men hvordan kan du gå frem dersom du ikke skal bruke binomialkoeffisienter? Det finnes en superenkel metode dersom du allerede har raden over, da blir det som følger:

Teori

Metode 2

Når du legger sammen to tall som står ved siden av hverandre på en rad, så får du tallet som står mellom disse to tallene på raden under.

Eksempel 2

Skriv de fire første radene i Pascals trekant ved å summere radelementer.

Første rad:

Har ett element, men er radnummer $0$ . Elementet her er $1$ .

Andre rad:

Har to elementer, men er radnummer

1

. Elementene her er

1

1

, siden alle rader i Pascals trekant begynner og slutter med

1

Tredje rad:

Har tre elementer, men er radnummer

2

. Her lønner det seg å skrive opp de to første radene for å finne den tredje ved hjelp av Metode 2. Du vet at første og siste radelement skal være

1

. Du må derfor fylle plassen i midten.

Rad nummer 0 til nummer 2 i Pascals trekant, skrevet med tall

Her ser du at $1 + 1 = 2$ og slik får du det midterste elementet på radnummer 3.

Fjerde rad:

Har fire elementer, men er radnummer $3$ . Nå holder det at du fyller inn neste rad på trekanten over. Første og siste element er $1$ . Du må derfor fylle inn de to elementene i midten av raden. Det blir slik:

Rad nummer 0 til nummer 3 i Pascals trekant, skrevet med tall

Her ser du at $1 + 2 = 3$ og at $2 + 1 = 3$ . Slik får du de to midterste elementene på fjerde rad, det som er radnummer 3.

I Pascals trekant kan du alltid legge til en ny rad ved å følge en av metodene over, men dersom du skal finne en rad langt nede i trekanten er det lettest å bruke binomialkoeffisienten $(\binom{n}{k})$ , der $n$ er raden du trenger og $k$ er plassen i raden. Du kan gjøre det ved å bruke metoden over også, men om du skal ha rad nummer 30 vil det ta veldig lang tid.

Trekanten brukes blant annet til å finne antall kombinasjoner og utregning av uttrykk på formen ${(a + b)}^{n}$ (Newtons binomialformel).

Eksempel 3

Figuren under viser et utsnitt av Pascals trekant.

Finn verdiene for $x$ og $y$ ut ifra informasjonen i figuren.

Du vet at summen av to nabotall er lik tallet mellom dem på linjen under. Ut ifra dette kan du finne to likninger med to ukjente:

\begin{align} 21 + x & = y, & (1) \\ y + 2 x & = 126 . & (2) \end{align}

Du løser (1) med hensyn på $x$ :

x = y - 21 .

(3)

Du løser (2) med hensyn på $y$ og setter inn for (3):

\begin{array}{l} y + 2 x & = 126 \\ y & = 126 - 2 x \\ = 126 - 2 (y - 21) \\ = 126 - 2 y + 42 \\ 3 y & = 168 & | : 3 \\ y & = 56 . \end{array}

Du finner $x$ ved å setter inn for $y$ i (3):

x = 56 - 21 = 35 .

De savnede tallene i Pascals trekant er dermed 35 og 56.

Eksempel 4

Her ser du hvordan du skal bruke binomialformelen til å regne ut uttrykk på formen ${(a + b)}^{n}$ for $n = 0, 1, 2, 3, 4$ :

\begin{array}{l} {(a + b)}^{0} & = 1 \\ {(a + b)}^{1} & = 1 \cdot a + 1 \cdot b \\ {(a + b)}^{2} & = 1 \cdot a^{2} + 2 \cdot a b + 1 \cdot b^{2} \\ {(a + b)}^{3} & = 1 \cdot a^{3} + 3 \cdot a^{2} b + 3 \cdot a b^{2} + 1 \cdot b^{3} \\ {(a + b)}^{4} & = 1 \cdot a^{4} + 4 \cdot a^{3} b + 6 \cdot a^{2} b^{2} \\ + 4 \cdot a b^{3} + 1 \cdot b^{4} \end{array}

\begin{array}{l} {(a + b)}^{0} & = 1 \\ {(a + b)}^{1} & = 1 \cdot a + 1 \cdot b \\ {(a + b)}^{2} & = 1 \cdot a^{2} + 2 \cdot a b + 1 \cdot b^{2} \\ {(a + b)}^{3} & = 1 \cdot a^{3} + 3 \cdot a^{2} b + 3 \cdot a b^{2} + 1 \cdot b^{3} \\ {(a + b)}^{4} & = 1 \cdot a^{4} + 4 \cdot a^{3} b + 6 \cdot a^{2} b^{2} + 4 \cdot a b^{3} + 1 \cdot b^{4} \end{array}

Du ser at koeffisientene representerer de fire første radene i Pascals talltrekant.

Eksempel 5

Regn ut ${(2 x + 1)}^{4}$ .

Denne kan du regne ut på den tungvinte måten ved å gange ut alle parentesene. Men det gidder du ikke, så du bruker heller Pascals trekant, som vist i forrige eksempel. For å gjøre dette ser du først på eksponenten, den er 4. Du vet derfor at radnummer 4 i Pascals trekant har koeffisientene du trenger (husk, du begynner å telle med radnummer 0). Koeffisientene blir dermed:

Rad nummer 4 i Pascals trekant, skrevet med binomialkoeffisienter

Når du regner ut disse får du tallene:

Rad nummer 4 i Pascals trekant, skrevet med tall

Du skriver så opp utregningen av leddene i ${(2 x + 1)}^{4}$ . Metoden er som følger:

Parentesen består av to ledd $2 x$ og $1$ . Disse skal opphøyes i en eksponent.
Eksponenten til det første leddet ( $2 x$ ) skal begynne på eksponenten til parentesen (i dette tilfellet 4), og gå ned til 0 ledd for ledd.
Eksponenten til det andre leddet ( $1$ ) skal begynne på 0 og gå opp til eksponenten til parentesen (i dette tilfellet 4), og gå oppover ledd for ledd.

Dette ser slik ut:

\begin{array}{l} {(2 x)}^{4} \cdot 1^{0} & = 16 x^{4} \\ {(2 x)}^{3} \cdot 1^{1} & = 8 x^{3} \\ {(2 x)}^{2} \cdot 1^{2} & = 4 x^{2} \\ {(2 x)}^{1} \cdot 1^{3} & = 2 x \\ {(2 x)}^{0} \cdot 1^{4} & = 1 \end{array}

Du kan nå sette de fem koeffisientene over foran hver av de fem leddene i utregningen. Da får du dette:

\begin{array}{l} {(2 x + 1)}^{4} & = 1 \cdot 16 x^{4} + 4 \cdot 8 x^{3} + 6 \cdot 4 x^{2} \\ + 4 \cdot 2 x + 1 \cdot 1 \\ = 16 x^{4} + 32 x^{3} + 24 x^{2} + 8 x + 1 \end{array}

\begin{array}{l} {(2 x + 1)}^{4} & = 1 \cdot 16 x^{4} + 4 \cdot 8 x^{3} + 6 \cdot 4 x^{2} + 4 \cdot 2 x + 1 \cdot 1 \\ = 16 x^{4} + 32 x^{3} + 24 x^{2} + 8 x + 1 \end{array}

Når du kan metoden vil du kun utføre den siste regningen. Alt som kommer før er tankerekker du har i hodet. Dette går mye raskere enn utregningen med parenteser, så det er lurt å bli vant til å bruke Pascals trekant!

Vil du vite mer?Registrer degDet er gratis!

Forrige oppslag

Binomisk fordeling

Neste oppslag

Hypergeometrisk sannsynlighet

Tilbake