House of Math-logo
House of Math-logo
Logg inn

Avstand mellom linjer

To linjer med avstand seg i mellom

Så lenge to linjer ikke skjærer hverandre vil det finnes ett punkt på hver av linjene der de er på sitt nærmeste. Når du skal finne avstanden mellom to linjer bruker du retningsvektoren til linjene for å finne en vektor mellom dem som er vinkelrett på begge. Dersom du har en linje l med retningsvektor r→l og en linje k med retningsvektor r→k vil denne fremgangsmåten gi avstanden:

Regel

Avstand mellom to linjer

1.
La P være et vilkårlig punkt på den ene linjen l og la Q være et vilkårlig punkt på den andre linjen k. Beskriv disse punktene ved hjelp av parameterfremstillingene for likningene.
2.
Lag et uttrykk for vektoren PQ→ ved hjelp av parameterfremstillingene for hver av linjene.
3.
Du vil at PQ→ skal stå vinkelrett på de to linjene siden det vil gi den korteste avstanden mellom linjene. Du vil derfor at
PQ→ ⊥r→l ⇔PQ→ ⋅r→l = 0

og

PQ→ ⊥r→k ⇔PQ→ ⋅r→k = 0.
4.
Du har nå to likninger med to ukjente. Løs likningssettet.
5.
Du har nå funnet en verdi for s og en verdi for t. Sett dem tilbake i uttrykket for PQ→ og finn et talluttrykk for vektoren.
6.
Finn så |PQ→|.

Eksempel 1

Finn avstanden mellom linjene

l: x (t) = 1 + t, y (t) = 2t, z (t) = 1 + 3t

l: x (t) = 1 + t,y (t) = 2t,z (t) = 1 + 3t

og

k: x (t) = 2 + s, y (t) = −1 + s, z (t) = 1 + s

k: x (s) = 2 + s,y (s) = −1 + s,z (s) = 1 + s

1.
Begynn med å lage et punkt P ved help av parametriseringen til l og et punkt Q ved hjelp av parametriseringen til k:
P = (1 + t, 2t, 1 + 3t),

og

Q = (2 + s,−1 + s, 1 + s).
2.
Lag PQ→:
PQ→ = [2 + s −(1 + t),−1 + s −(2t), 1 + s −(1 + 3t)] = [1 + s − t,−1 + s − 2t,s − 3t].

PQ→ = [2 + s −(1 + t),−1 + s −(2t), 1 + s −(1 + 3t)] = [1 + s − t,−1 + s − 2t,s − 3t].

3.
Regn ut
PQ→ ⊥r→l ⇔PQ→ ⋅r→l = 0

og

PQ→ ⊥r→k ⇔PQ→ ⋅r→k = 0.

Koordinatene til retningsvektoren rl er tallene som står foran t i parameterfremstillingen og koordinatene til retningsvektoren rk er tallene som står foran s i parameterfremstillingene:

[1 + s − t,−1 + s − 2t,s − 3t] ⋅[1, 2, 3] = 0 1 + s − t − 2 + 2s − 4t + 3s − 9t = 0 − 1 + 6s − 14t = 0 [1 + s − t,−1 + s − 2t,s − 3t] ⋅[1, 1, 1] = 0 1 + s − t − 1 + s − 2t + s − 3t = 0 3s − 6t = 0

[1 + s − t,−1 + s − 2t,s − 3t] ⋅[1, 2, 3] = 0 1 + s − t − 2 + 2s − 4t + 3s − 9t = 0 − 1 + 6s − 14t = 0 [1 + s − t,−1 + s − 2t,s − 3t] ⋅[1, 1, 1] = 0 1 + s − t − 1 + s − 2t + s − 3t = 0 3s − 6t = 0

4.
Løs likningssettet:
3s − 6t = 0 3s = 6t s = 2t − 1 + 6s − 14t = 0 ⇓ − 1 + 6 ⋅ 2t − 14t = 0 − 1 − 2t = 0 t = −1 2 s = 2t ⇓ s = −1

− 1 + 6s − 14t = 0 3s − 6t = 0 3s = 6t s = 2t − 1 + 6 ⋅ 2t − 14t = 0 − 1 − 2t = 0 t = −1 2 s = 2 ⋅(− 1 2 ) s = −1

5.
Sett s og t tilbake i uttrykket for PQ→ :
P Q→ = [1 + (−1) −(− 1 2 ) , − 1 + (−1) − 2 ⋅(− 1 2 ) , (−1) − 3 ⋅(− 1 2 ) ] = [1 2,−1, 1 2] .

PQ→ = [1 + (−1) −(− 1 2 ) ,−1 + (−1) − 2 ⋅(− 1 2 ) , (−1) − 3 ⋅(− 1 2 )] = [1 2,−1, 1 2] .

6.
Du finner nå lengden av PQ→. Dette er avstanden mellom de to linjene: |PQ→| = (1 2) 2 + 12 + (1 2) 2 = 1 4 + 1 + 1 4 = 3 2.

Vil du vite mer?Registrer degDet er gratis!
Pil som peker til venstreForrige oppslag
Avstand fra punkt til linje
Neste oppslagPil som peker til høyre
Avstand fra punkt til plan
Tilbake