Skjæring mellom linje og plan

Skjæringen mellom en linje og et plan er enten ett punkt i planet eller uendelig mange punkter dersom linjen faktisk ligger i planet.

En linje som skjærer et plan i ett punkt

For å finne skjæringen mellom en linje og et plan kan du følge denne oppskriften:

Regel

Skjæring mellom linje og plan

1.: Sett parameterfremstillingen for linjen inn i likningen for planet.
2.: Du har nå fått et uttrykk med én variabel $t$ .
3.: Løs likningen for $t$ .
4.: Sett denne $t$ -verdien tilbake i parameterfremstillingen for linjen og finn skjæringspunktet $(x, y, z)$ .

Eksempel 1

Du vil finne skjæringspunktet mellom linjen
$\begin{array}{l} l : x (t) & = 1 + t, \\ y (t) & = 2 t, \\ z (t) & = 2 + t \end{array}$

$l : x (t) = 1 + t, y (t) = 2 t, z (t) = 2 + t$

og planet
$α : x - 3 y + 2 z = 9$

Punktene 1 til 3.

I denne oppgaven er det naturlig å gjøre disse tre skrittene sammen. Se gjennom eksempelet for å overbevise deg selv om det samme! Du setter parametriseringen for linjen inn i likningen for planet, og løser for $t$ : $\begin{array}{l} 1 + t - 3 (2 t) + 2 (2 + t) & = 9 \\ 1 + t - 6 t + 4 + 2 t & = 9 \\ - 3 t & = 4 \\ t & = \frac{- 4}{3} \end{array}$

Punkt 4.

Du setter nå dette tilbake i parametriseringen for linjen.

\begin{array}{l} x (\frac{- 4}{3}) & = 1 + \frac{- 4}{3} = \frac{- 1}{3}, \\ y (\frac{- 4}{3}) & = 2 (\frac{- 4}{3}) = \frac{- 8}{3}, \\ z (\frac{- 4}{3}) & = 2 + \frac{- 4}{3} = \frac{2}{3} . \end{array}

Skjæringspunktet er derfor

P = (\frac{- 1}{3}, \frac{- 8}{3}, \frac{2}{3}) .

Dersom du ikke klarer å finne en verdi for $t$ ved hjelp av denne metoden, så kan det være fordi linjen enten ligger i planet eller parallelt med planet.

Om linjen ligger i planet, så vil du ende opp med en likning som ser ut som $0 = 0$ eller liknende. Dette er fordi alle $t$ -verdier vil gi deg et punkt i planet.

Om linjen ligger parallelt med planet, vil du ende opp med en likning som ser ut som $1 = 2$ eller noe liknende. Dette er fordi ingen $t$ -verdier vil gi deg et punkt i planet, så formelen vil aldri kunne løses.

Uansett må du sjekke om dette stemmer for å forsikre deg om at du ikke har gjort en regnefeil. Det kan du gjøre ved å sjekke om retningsvektoren til likningen er normal til normalvektoren til planet. Dersom de ikke er normale så må det finnes en løsning.

Vil du vite mer?Registrer degDet er gratis!

Forrige oppslag

Skjæring mellom plan og koordinatakser

Neste oppslag

Skjæringslinjen mellom to plan

Tilbake