...

>Границі>Як визначити неперервність функції?

Як визначити неперервність функції?

Неперервнiсть — це властивiсть функцiї. Коли ми говоримо про неперервнiсть, то описуємо, чи iснує графiк функцiї для всiх значень $x$ у iнтервалi, i чи цi точки сумiжнi мiж собою.

Той факт, що графiк є неперервним, означає, що його можна побудувати, не вiдриваючи олiвця вiд аркуша. Є графiки, в яких значення $y$ для заданого значення $x$ знаходяться на певнiй вiдстанi вiд значення $y$ для сумiжного значення $x$ . Такi графiки не є неперервними. Функцiї, не визначенi для всiх значень $x$ у межах iнтервалу, також не є неперервними в межах цього iнтервалу. Нижче наведено приклади рiзних випадкiв:

Неперервна функцiя та переривчаста функцiя

Теорiя

Неперервнiсть

Якщо $\lim_{x \to a} f (x) = f (a)$ , то $f$ є неперервною для $x = a$ .
Якщо $\lim_{x \to a} f (x) \neq f (a)$ , то $f$ є переривчастою для $x = a$ .

Якщо

f (x)

неперервна для всiх значень

x

у iнтервалi, то кажемо, що вона неперервна в iнтервалi.

Приклад 1

Визнач, чи є функцiя $f (x) = \frac{x^{2} - 2 x}{x - 1}$ неперервною для $x = 1$

\begin{array}{l} \lim_{x \to 1} \frac{x^{2} - 2 x}{x - 1} & = \lim_{x \to 1} \frac{\frac{x^{2}}{x^{2}} - \frac{2 x}{x^{2}}}{\frac{x}{x^{2}} - \frac{1}{x^{2}}} \\ = \lim_{x \to 1} \frac{1 - \frac{2}{x}}{\frac{1}{x} - \frac{1}{x^{2}}} \\ = \lim_{x \to 1} \frac{1 - \frac{2}{1}}{\frac{1}{1} - \frac{1}{1^{2}}} \\ = \frac{1 - 2}{1 - 1} \\ = не визначено \end{array}

Як бачимо,

f (x)

є переривчастою, оскiльки пiд час обчислення границi ми отримали недiйсний вираз.

Приклад 2

Визнач, чи є функцiя $f (x) = \frac{x^{2} - 2 x + 2}{x + 3}$ неперервною для $x = - 2$

\begin{array}{l} \lim_{x \to - 2} \frac{x^{2} - 2 x + 2}{x + 3} & = \frac{{(- 2)}^{2} - 2 (- 2) + 2}{- 2 + 3} \\ = \frac{4 + 4 + 2}{1} \\ = 10 \end{array}

Як бачимо,

f (x)

є неперервною, оскiльки пiд час обчислення границi ми отримали числове значення.

Бажаєш дізнатися більше?ЗареєструйсяЦе безплатно!

Попередня стаття

Як інтерпретувати та обчислювати границі функції

Наступна стаття

Як інтерпретувати та обчислювати асимптоти функції

Повернутися