Принцип дії факторіалів

Теорiя

Факторiал

Факторiал — це добуток усiх чисел вiд $n$ до 1 включно. Факторiал позначається символом «!».

n! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \dots n

Приклад 1

Факторiал з 4 дорiвнює 24, оскiльки 1 помножене на 2 помножене на 3 помножене на 4 дорiвнює 24. Це можна записати так:

4! = 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 24

Факторiали мають дуже важливе значення, оскiльки показують рiзнi способи впорядкування множини з $n$ елементiв.

Приклад 2

Маємо три лiтери: «A», «B» i «C». Нас цiкавить, скiльки рiзних слiв можна скласти з цих трьох лiтер, за умови, що кожну лiтеру можна використовувати лише раз. Оскiльки слова складаємо з лiтер у певному порядку, то можемо скласти $3! = 3 \cdot 2 \cdot 1 = 6$ рiзних слiв.

Можна обрати й iнший хiд думок: ми маємо три лiтери, а тому першу лiтеру можна обрати у три рiзних способи. Оскiльки пiсля вибору першої лiтери лишається ще двi, то другу лiтеру можна обрати у два рiзних способи. Пiсля вибору другої лiтери лишається одна, тож є лише один варiант останньої лiтери. Щоб знайти кiлькiсть можливих «кiнцевих результатiв», множимо кiлькiсть варiантiв вибору на кожному кроцi i отримуємо $3 \cdot 2 \cdot 1 = 6$ . У разi сумнiвiв можна спробувати записати комбiнацiї ручкою на паперi; ми побачимо, що в нас вийде саме шiсть слiв:

1.: ABC
2.: ACB
3.: BAC
4.: BCA
5.: CAB
6.: CBA

Приклад 3

Учнi класу обирають варiанти розсадження у класнiй кiмнатi. У класi 20 учнiв i 20 парт. Скiльки є способiв розсадження учнiв за партами?

У цьому випадку варто обмiркувати все так: Коли ми обираємо, хто сидiтиме за першою партою, то скiльки учнiв можемо туди посадити? У класi 20 учнiв, тож обирати можна з 20 учнiв. Коли обираємо, кого посадити за другу парту, то скiльки учнiв можемо туди посадити? В нас лишилося 19 учнiв, бо одного ми вже посадили. Те саме запитання можна ставити, доки ми не розсадимо всiх учнiв. Розрахунок має такий вигляд:

20! = 20 \cdot 19 \cdot 18 \dots 2 \cdot 1 \approx 2.4 \cdot 1 0^{18} .

Приклад 4

Команда з гандболу поїхала в тур i обирає, хто на якому лiжку спатиме в готелi. У командi 14 гравцiв. Скiльки варiантiв розподiлу лiжок мiж гравцями може вибрати тренер?

Гравця, який отримає перше лiжко, тренер обирає з-помiж 14 гравцiв. На друге лiжко претендуватиме вже 13 гравцiв, а на третє — 12 гравцiв. Тренер продовжує обирати, доки не лишиться одне лiжко i один гравець. Розрахунок має такий вигляд:

14! = 14 \cdot 13 \cdot 12 \dots 2 \cdot 1 = 87 178 291 200 .

Бажаєш дізнатися більше?ЗареєструйсяЦе безплатно!

Попередня стаття

Впорядкований відбір із заміною

Наступна стаття

Перестановки (впорядкований відбір без заміни)

Повернутися